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A função logarítmica de base a é definida como f (x) = loga x, com areal, positivo e a ≠ 1. A função inversa da função logarítmica é a função exponencial.
O logaritmo de um número é definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja:
Exemplos
- f (x) = log3 x
- g (x) =
- h (x) = log10 x = log x
Domínio da função logarítmica
O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. No caso da função logarítmica, devemos levar em consideração as condições de existência do logaritmo.
Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e diferente de 1.
Exemplo
Determine o domínio da função f (x) = log2 (x + 3).
Solução
Para encontrar o domínio, devemos considerar que (x + 3) > 0, pela condição de existência do logaritmo. Resolvendo essa inequação, temos:
x + 3 > 0 ⇒ x > - 3
Assim, o domínio da função pode ser representado por:
Gráfico da função logarítmica
De uma forma geral, o gráfico da função y = loga x está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é definida para x > 0.
Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, pois y = loga1 = 0, para qualquer valor de a.
Abaixo, apresentamos o esboço do gráfico da função logarítmica.
Função crescente e decrescente
Uma função logarítmica será crescente quando a base a for maior que 1, ou seja, x1 2 ⇔ loga x1a x2. Por exemplo, a função f (x) = log2 x é uma função crescente, pois a base é igual a 2.
Para verificar que essa função é crescente, atribuímos valores para x na função e calculamos a sua imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo.
Observando a tabela, notamos que quando o valor de x aumenta, a sua imagem também aumenta. Abaixo, representamos o gráfico desta função.
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores que zero e menores que 1 são decrescentes, ou seja, x1 2 ⇔ loga x1 > loga x2. Por exemplo, é uma função decrescente, pois a base é igual a 
.
.
Calculamos a imagem de alguns valores de x desta função e o resultado encontra-se na tabela abaixo:
Notamos que, enquanto os valores de x aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. Desta forma, constatamos que a função 
é uma função decrescente.
é uma função decrescente.
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico dessa função. Note que quanto menor o valor de x, mais perto do zero a curva logarítmica fica, sem contudo, cortar o eixo y.
Função Exponencial
A inversa da função logarítmica é a função exponencial. A função exponencial é definida como f(x) = ax, com a real positivo e diferente de 1.
Uma relação importante é que o gráfico de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes I e III.
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função logarítmica de mesma base, por simetria podemos construir o gráfico da função exponencial.
No gráfico acima, observamos que enquanto a função logarítmica cresce lentamente, a função exponencial cresce rapidamente.
Exercícios Resolvidos
1) PUC/SP - 2018
As funções 
, com k um número real, se intersectam no ponto 
. O valor de g(f(11)) é
, com k um número real, se intersectam no ponto . O valor de g(f(11)) é
), então para encontrar o valor da constante k, podemos substituir esses valores na função g(x). Assim, temos:
2) Enem - 2011
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e Mo se relacionam pela fórmula:
Onde Mo é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3.
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico Mo do terremoto de Kobe (em dina.cm)
a) 10- 5,10
b) 10- 0,73
c) 1012,00
d) 1021,65
e) 1027,00
Para saber mais, veja também:
Fonte de referência,estudos e pesquisa: https://www.todamateria.com.br/funcao-logaritmica/
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